É importante, ao se estudar gerenciamento de derivativos, citar a origem dos
modelos de precificação de ativos, ou seja, descrever o modelo mais utilizado
por todos os participantes dos mercados de opções para suas avaliações. Foi
desenvolvido em 1973 pelos professores Fizer Black e Myron Scholes, na
Universidade de Chicago e no MIT (Massachusetts Institute of technology).
O modelo de Black e Scholes é basilar para o mercado futuro, porque permitiu
que houvesse um padrão de preços para negociação de altos volumes em bolsa.
Conforme FERREIRA E HORITA (1996), a fórmula capaz de calcular o preço das
opções era uma equação complexa. Foi apresentada ao mundo financeiro em um
artigo de dezessete páginas, de difícil compreensão para os leigos, publicado no
The Journal of Political Economy, da Universidade de Chicago, em maio de
1973.
O objeto de estudo dos dois pesquisadores é a opção de compra européia, de
onde se derivou a teoria para outras modalidades mais complexas.
No artigo de Black & Scholes (1973), eles sugerem que o modelo desenvolvido
não só se aplica na precificação de opções de compra simples, como serve também
de "rationale" para a avaliação de qualquer ativo contingente - um ativo que tem
seu preço determinado em função de outro.
Um investidor, por exemplo, quando entra em qualquer posição em opções de
ações, deve analisar sua expectativa em relação à tendência dos preços a vista,
a curto, médio e longo prazos e deve avaliar o prêmio da opção, verificando se
este está acima ou abaixo do seu valor justo.
Esta ferramenta de análise tem como objetivo auxiliar os investidores a
determinar se o prêmio de uma opção está subavaliado ou não, indicando qual é a
possível tendência do mercado, considerando-se que a maior dificuldade
encontrada no cálculo de prêmio de uma opção está na determinação da
distribuição de probabilidades dos preços da ação.
O prêmio justo de uma opção é o valor atual, na data em que a opção está
sendo negociada, dos ganhos e perdas prováveis de acontecerem até o vencimento
da opção. Para calcular-se o prêmio justo, deve-se considerar a probabilidade
dos ganhos e perdas da posição assumida em opções de ações. Esta probabilidade é
função do comportamento futuro dos preços à vista dos papéis.
A seguir, será feita uma descrição sucinta do modelo e das considerações
feitas sobre o comportamento dos preços das ações.
- O Processo Estocástico
Através de vários estudos, os preços dos ativos negociados comportam-se
livremente através da influência de inúmeros fatores que alteram seus
movimentos, tornando impossível determinar com exatidão os níveis de preço a
serem atingidos em datas futuras. Dessa forma, pode-se dizer que os preços de
uma ação apresentam um caminho aleatório, seguindo um processo estocástico.
Os fenômenos aleatórios são satisfatoriamente descritos por uma distribuição
normal. Assim, os principais modelos de valorização de prêmios de opções supõem
uma distribuição normal para os preços do ativo base da opção.
A experiência indica que, mesmo em países com inflação baixa, a tendência dos
preços ao longo do tempo é a de subir. Dessa forma, uma curva que não permitisse
a ocorrência de preços negativos e presumisse a tendência altista descreveria
melhor o comportamento dos preços de uma ação. De acordo com essas
características, pode-se dizer que uma curva lognormal descreve melhor o
comportamento do preço de uma ação ao longo do tempo.
- A propriedade de Markov
O modelo explicita distorções nos preços das opções, indicando se as opções
estão caras ou baratas. Está baseado na suposição de que os preços das ações
seguem um processo estocástico, mais especificamente um processo de Markov. Isto
significa que os preços de uma ação apresentam um comportamento aleatório no
decorrer do tempo e que o valor presente da variável contém todas as informações
relevantes sobre o passado, sendo suficiente para prever o futuro.
Como previsões sobre o futuro devem ser expressas em termos de distribuição
de probabilidades, a propriedade de Markov implica que a distribuição de
probabilidades do preço futuro, em qualquer data futura em particular, depende
somente do preço corrente do ativo financeiro.
- O processo de Wiener e o processo de Ito
A maioria dos modelos também considera que os preços de uma ação apresentam
um comportamento caracterizado como processo de Wiener.
Logo, seja z uma variável que segue um processo de Wiener, e que tem
sua variação dependente da variável tempo. Uma variável de Wiener
apresenta duas importantes propriedades:
1) 
z
está relacionado com 
t
através da equação 
,
onde 
é uma variável aleatória com distribuição normal de média zero e desvio
padrão de 1,0. Desta propriedade segue que 
z
tem uma distribuição normal com média zero e desvio padrão de 
.
2) Os valores de 
z
em dois intervalos de tempo diferentes são independentes.
Portanto, z segue o processo de Markov.
O processo de Wiener pode ser generalizado para uma variável x,
definida em relação a uma variável z pela equação:
dx = adt + bdz (3.4)
onde a e b são constantes, e sendo a a taxa de variação
de x por unidade de tempo e b a taxa de variação da variabilidade.
Se a e b dependem da variável x e do tempo, isto é,
deixarem de ser constantes, teremos o processo chamado de Ito, que é expresso
por:
dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz
o que significa que a taxa de variação esperada, a, e a taxa de
variância b, estão sujeitas a mudança com o passar do tempo e dz segue um
processo de wiener. A variável x apresenta média a e variância
b2.
Como a não é um parâmetro constante na equação (3.4), assume-se
que a como uma porcentagem do preço da ação, tornando-se assim uma
constante.
Assim, se S é o preço de uma ação, o acréscimo de S por unidade
de tempo é dado por mS, onde m
é uma constante expressa em porcentagem. A equação pode então ser escrita da
seguinte forma:
dS = mS dt
Como o preço de uma ação apresenta volatilidade, o que faz com que o termo
bdz da equação (3.4) não possa ser descartada. É razoável admitir que esta
variância, expressa como porcentagem do preço da ação, seja constante,
independentemente do valor deste preço. Assim, s2S2 
t
é o componente aleatório da variação sofrida por S no período 
t.
Conclui-se portanto que o preço de uma ação pode ser representado por um
processo de Ito, descrito pela equação:
dS = mS dt + sS dz
O lema de Ito diz que uma função G de x e t apresenta o seguinte
comportamento:
O Lema de Ito pode ser utilizado fazendo-se: G = lnS
Assim, da equação:
dS = mS dt + sS dz
obtém-se
Para derivar a fórmula de Black e Scholes para precificação de opções é
essencial fazer as considerações acima, assumindo que o comportamento do preço
de uma ação corresponde ao modelo lognormal.
Há certas condições que tiveram de ser assumidas para se derivar a Equação de
Black & Scholes:
a) a taxa de juros livre de risco r, é a mesma para todos os vencimentos
possíveis do derivativo; excluindo a possibilidade de que haja incerteza a
respeito da taxa de juros futura;
b) o mercado financeiro opera continuamente;
c) o preço da ação evolui de forma contínua e tem distribuição normal;
d) a ação-objeto não paga dividendos ou outras distribuições;
e) a opção é do tipo europeu;
f) inexistem custos de transação ou impostos;
g) não existem restrições para vendas a descoberto (short sales);
A partir destas premissas, foi criada uma carteira livre de risco, composta
por uma posição comprada em uma ação e uma posição vendida em uma opção de
compra desta ação. Ambas as posições são afetadas pela mesma incerteza: as
oscilações do preço da ação.
Mas, como o prêmio da opção não varia, em valor, no mesmo montante do preço à
vista, para montar uma carteira livre de risco, é importante saber qual a
relação entre a variação do prêmio da opção e a variação do preço à vista.
Partindo-se da equação,
dS = mS dt + sS dz
(3.5 )
e supondo-se que f seja o preço de uma opção de S e, portanto,
que f seja função de S e t, tem-se:
(3.6)
Do Lema de Ito tem-se que dz é o mesmo para S e f, podendo ser eliminado ao
se escolher uma carteira livre de risco.
Esta carteira será composta por uma posição vendida em uma opção de compra e
uma posição comprada equivalente na ação-objeto. A posição assumida na ação
objeto será dada por: 
f/
S.
O valor desta carteira será dado por 
,
onde:
A variação do valor da carteira no período t será:
(3.7 )
Substituindo-se as equações (3.5) e (3.6) na equação (3.7), tem-se:
Sabendo-se que uma carteira livre de risco é a taxa livre de risco, r; 
também pode ser escrito da seguinte forma:
= r
t
Igualando as duas equações:
(3.8 )
Obtém-se
Esta equação é conhecida por Equação Diferencial de Black & Scholes e serve
para qualquer derivativo que tenha o preço do ativo básico como única variável
que influencia o preço do derivativo.
Conforme COSTA (1994), uma das características mais importantes do Modelo é
que a equação não envolve nenhuma preferência do investidor quanto à sua
exposição ao risco. Isto porque não envolve a taxa de retorno esperado, , que
depende basicamente do nível de risco a que o investidor pretende se expor.
Através de cálculo integral e de considerações que fogem do escopo deste
trabalho, chega-se a seguinte equação:
(3.9)
onde:
c: prêmio da opção de compra
S: preço à vista da ação;
X: preço de exercício da opção;
:
volatilidade histórica da ação;
r: taxa livre de risco;
(T-t): período até o vencimento da opção;
N(x): função de probabilidade cumulativa de uma variável normal padronizada.
Com relação às variáveis acima, é essencial fazer algumas considerações
acerca de algumas delas, para melhor compreensão do modelo.
Conforme COSTA (1994), a taxa de juros deveria ser livre de risco, o
que significa usar taxas dadas por títulos privados de primeira linha com o
mesmo período de validade da opção. No caso do Brasil, costuma-se usar a taxa
dada pelos Certificados de Depósito Interbancário - CDI, que é corretamente
utilizada pelo mercado como base de comparação para qualquer tipo de operação.
Com relação à volatilidade, cuja estimação é tarefa mais complexa, costuma-se
utilizar a volatilidade histórica, obtendo-se a volatilidade através do cálculo
do desvio padrão das oscilações dos preços para um determinado período base.
Segundo HUFFENBAECHER (1992), para resolver a equação diferencial de Black &
Scholes para um derivativo em particular é só resolvê-la impondo as condições de
contorno.
O modelo de Black & Scholes, através de distribuições de probabilidades,
fornece o preço justo dos vários derivativos e fornece às empresas um
instrumento de avaliação de preços para o acompanhamento do mercado.
Segundo HULL (1991), opções européias de compra e de venda de ações, índices
de ações, moedas e contratos futuros, além de opções americanas de compra de
ações sem dividendos e algumas com dividendos podem ser avaliadas pelo modelo de
Black & Scholes e suas extensões. Porém, ele não é útil para avaliar outras
opções do estilo americano.